群、环、域是代数结构的三种不同类型，它们在定义和性质上有所区别：
1.群（Group）：
群是一组元素G以及定义在这些元素上的一个二元运算“·”，满足以下四个公理：
✔封闭性：对于所有a,b∈G，有a·b∈G。
✔结合律：对于所有a,b,c∈G，有(a·b)·c=a·(b·c)。
✔单位元：存在某个元素e∈G，使得对于所有a∈G，有e·a=a·e=a。
✔逆元：对于每个元素a∈G，存在元素b∈G，使得a·b=b·a=e。
群可以是非交换的（也称为非阿贝尔群），也可以是交换的（阿贝尔群）。
2.环（Ring）：
环是一组元素R以及定义在这些元素上的两个二元运算“+”和“·”，满足以下公理：
✔“+”构成一个阿贝尔群，即满足封闭性、结合律、交换律、存在单位元0（加法单位元），以及每个元素都有加法逆元。
✔“·”满足封闭性和结合律。
✔“·”对“+”满足分配律，即对于所有a,b,c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c，以及(b+c)·a=b·a+c·a。
环中的乘法不一定满足交换律，也不一定有乘法单位元。如果环中的乘法满足交换律，则称为交换环。
3.域（Field）：
域是一组元素F以及定义在这些元素上的两个二元运算“+”和“·”，满足以下公理：
✔“+”构成一个阿贝尔群。
✔“·”构成一个阿贝尔群，且除了加法单位元0以外的每个元素都有乘法逆元。
✔域中的乘法必须满足交换律，即对于所有a,b∈F，有a·b=b·a。
域是环的一个特例，它要求乘法不仅满足环的性质，而且每个非零元素都有逆元，即域中的乘法运算是可逆的。
